Энциклопедия мировой истории

КАНТОР (Cantor) Георг (1845—1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинит­ных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв. Окончил Университет Берлина (1867), профессор Университета Халле (1879—1913). Главный труд: “Осно­вы общего учения о многообразиях” (1902). Исследова­ния К., инициированные необходимостью решения на­сущных проблем теории бесконечных рядов Фурье, ста­ли основой для дальнейших фундаментальных исследо­ваний в направлении теории числовых множеств, где им были введены: общее определение множества, трансфи­нитные числа, общее понятие “мощность множества” (как количество элементов множества), мощности раз­личных трансфинитных множеств. Под множеством К. понимал “…вообще всякое многое, которое можно мыс­лить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с по­мощью некоторого закона…”. Основополагающим в по­нятии множества является акт объединения различных объектов в единое целое, определяемое как множество. Элементами множеств могут быть любые объекты реаль­ной дейсвительности, человеческой интуиции или интел­лекта. Наличие в определении К. словосочетания “…сово­купность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона…” полностью определяет множество его элементами или за­коном (характеристическими признаками, свойствами), согласно которому происходит акт объединения различ­ных объектов в единое целое — множество. Поэтому фундаментальным понятием теории множеств является не само понятие множества, а отношение принадлежно­сти объектов множеству. К Аристотелю восходит тради­ция разделения бесконечности на актуальную и потенци­альную: “Остается альтернатива, согласно которой беско­нечное имеет потенциальное существование… Актуаль­но бесконечное не существует” (Аристотель, “Физика”). Эта традиция продолжалась Декартом (”Бесконечность
439
распознаваема, но не познаваема”) и даже во времена К.Гаусса (”В математике бесконечную величину никог­да нельзя использовать как нечто окончательное; беско­нечность — не более чем facon de parle /манера выра­жаться — С.С /, означающая предел, к которому стре­мятся одни величины, когда другие бесконечно убыва­ют”). К., как писал М.Клайн, отошел от давней тради­ции “уже тем, что рассматривал бесконечные множест­ва как единые сущности, притом сущности, доступные человеческому разуму”. Резко расходясь со своими кол­легами-математиками во взглядах на математическую бесконечность, К. мотивировал необходимость введе­ния актуально бесконечных множеств тем, что “потен­циальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечно­сти”. Классическим примером актуально бесконечного множества по К. являются десятичные разложения ир­рациональных чисел, т.к. каждый “конечный отрезок та­кого разложения дает лишь конечное приближение к ир­рациональному числу”. К 1873 относится начало иссле­дований К. по классификации актуально бесконечных множеств. Немного позднее К. определил бесконечное множество как множество, для которого существует вза­имно однозначное соответствие с его собственным под­множеством (т.е. отличным от всего множества). Одним из следствий такого подхода стала, например, возмож­ность установления взаимно однозначного соответствия между точками прямой линии и точками многообразия любой размерности. Основываясь на собственном опре­делении бесконечных множеств, К. смог установить для каждой пары из них отношение эквивалентности (равномощности). В 1874 К. доказал несчетность множества всех действительных чисел, установив при этом суще­ствование пар бесконечных множеств, имеющих раз­личные мощности (неэквивалентных множеств). Систе­матически основы своей теории математической беско­нечности К. изложил в 1879—1884. Основанием иерар­хии бесконечностей К. стала доказанная в первой поло­вине 1890-х широко известная теорема К.-Бернштейна: “если два множества А и В таковы, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством А и подмножеством множества В и между множеством В и подмножеством множества А, то возможно устано­вить также и взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством В”, т.е. установить равномощность (эквивалентность) множеств А и В. При этом, К. определял, что если множество А возможно поста­вить во взаимно однозначное соответствие с собствен­ным подмножеством В, а множество В невозможно по­ставить во взаимно однозначное соответствие с собст­венным подмножеством А, то множество В по определе­нию больше множества А. По мнению М.Клайна, такое
определение обобщает на случай бесконечных мно­жеств то, что “непосредственно очевидно в случае ко­нечных множеств”. Следуя данному подходу, К. дока­зал, что для любого “заданного множества всегда най­дется множество, большее исходного” (например, мно­жество всех подмножеств данного множества больше первоначального множества). То, что между двумя мощ­ностями возможно установление отношений “равенст­во”, “больше” и “меньше”, дало К. основание назвать “числами” символы обозначения мощностей бесконеч­ных множеств (для конечных множеств символы обо­значения их мощности суть числа натурального ряда, определяющие количество элементов в каждом из экви­валентных конечных множеств). В отличие от чисел на­турального ряда [ординальных чисел /от нем. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) — числительные порядковые — C.C.I, К. назвал кардинальными числами (от нем. Die Kardinalzahl — числительные количественные)] “числа” обозначения мощности бесконечных множеств. К. счи­тал, что область определенных величин не исчерпывает­ся конечными величинами, т.к. об “актуальном беско­нечном также возможно доказательное знание”. Если понятие мощности было расширенным понятием “коли­чество” для бесконечных множеств, то понятие карди­нального числа стало расширенным обобщением поня­тия “числа вообще”. Расширение К. понятия “числа” в область Бесконечного ознаменовало переход математи­ки на качественно новый уровень мышления. Фактичес­ки, мощность множеств по К. отражает в сознании чело­века-исследователя определенные отношения мно­жеств, т.е. мощность множеств по К. — это наиболее об­щая характеристика эквивалентных бесконечных мно­жеств. Больцано еще в начале 19 в. пришел к понятию взаимно однозначного соответствия между множества­ми (а, следовательно, и к понятию мощностей множеств и выражению их кардинальными числами). Однако под “количеством” до середины 19 в. понималась величина. А так как каждую величину посредством избранной единицы измерения возможно выразить числом, то представление о количестве ассоциировалось с поняти­ем числа. Поэтом Больцано был вынужден отступить перед серьезными затруднениями, вытекавшими из по­нятия “количество”. Математика того времени вообще определялась как наука, исследующая зависимости между величинами и выражающими их числами. Одна­ко, как пишет В.А.Волков, “как бы ни были важны различные виды величин и зависимости между ними для практических приложений математики, они охватывают далеко не все богатства различных количественных от­ношений и пространственных форм действительного мира”. К. также было введено в математику понятие “предельная точка производного множества”, построен
440
пример совершенного множества (”множество К.”), сформулирована одна из аксиом непрерывности (”акси­ома К.”). Следствия из теории К. выявили противоречия в достаточно серьезно изученных областях оснований математики. Эти противоречия лидеры математики того времени назвали парадоксами (антиномиями) по одной той причине, что парадокс “может быть объяснен, а ма­тематиков не покидала надежда, что все встретившиеся трудности им в конце концов удастся разрешить”. Тео­рию математической бесконечности К., в отличие от большинства ведущих математиков того времени, под­держивали Рассел и Гильберт. Рассел, считая К. одним из великих мыслителей 19 в., писал в 1910, что решение К. проблем, “издавна окутывающих тайной математиче­скую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век /20 в. — С.С./”. Гильберту в 1926 представлялось, что теория К. — это “самый восхитительный цветок математичес­кой мысли и одно из величайших достижений человече­ской деятельности в сфере чистого мышления”. А Э.Борель и А.Лебег уже в самом начале 20 в. обобщили по­нятие интеграла и развивали теории меры и измерений, в основании которых лежала теория К. К 1897 К. был вынужден прекратить активные математические иссле­дования вследствие резкого сопротивления его идеям (в частности, со стороны Л.Кронекера, называвшего К. шарлатаном), выдвинув так называемый “закон сохра­нения невежества”: “нелегко опровергнуть любое не­верное заключение, коль скоро к нему пришли и оно по­лучило достаточно широкое распространение, причем, чем менее оно понятно, тем более упорно его придержи­ваются”. К. всегда разделял философские идеи Платона и верил в то, что в окружающем нас Мире “идеи суще­ствуют независимо от человека. И чтобы осознать ре­альность этих идей, необходимо лишь задуматься над ними”. К., будучи в соответствии с давней религиозной традицией своей семьи ревностным лютеранином, в своих высказываниях часто применял и теологическую аргументацию. Особенно это проявилось после отхода его от занятий математикой.
C.B. Силков